С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

200 3. Численные методы линейной алгебрыК примеру, явная формула для определителя n × n-матрицы выражаетего как сумму n! слагаемых, каждое из которых есть произведениеn элементов из разных строк и столбцов матрицы. Раскрытиеопределителя по этой формуле требует n!(n−1) умножений и (n!−1)сложений, т. е. всего примерно n!n арифметических операций, и потомуиз-за взрывного роста факториала 2 решение СЛАУ по правилу Крамерапри n ≈ 20–30 делается невозможным даже на самых современныхЭВМ.Производительность современных ЭВМ принято выражать в такназываемых флопах (сокращение от английской фразы floating pointoperation), и 1 флоп — это одна усреднённая арифметическая операцияв арифметике с плавающей точкой в секунду (см. §1.2). Для наиболеемощных на сегодняшний день ЭВМ скорость работы измеряетсятак называемым петафлопами, 10 15 операций с плавающей точкой всекунду. Для круглого счёта можно даже взять производительностьнашего гипотетического компьютера равной 1 экзафлоп = 10 18 операцийс плавающей точкой в секунду. Решение на такой вычислительноймашине системы линейных алгебраических уравнений размера 30×30по правилу Крамера, с раскрытием определителей по явной комбинаторнойформуле, потребует времени30 компонент решения·30·30! операций10 18 флоп·3600 секчасчас ·24сутки ·365сутки годлет, т. е. примерно 7.57·10 9 лет. Для сравнения, возраст Земли в настоящеевремя оценивается в 4.5·10 9 лет.Обращаясь к задаче вычисления собственных значений матрицы,напомним известную из алгебры теорема Абеля-Руффини 3 : общее алгебраическоеуравнение степени выше четвёртой «неразрешимо в радикалах»,т. е. не существует конечная формула, выражающая решениятакого уравнения через коэффициенты с помощью арифметическихопераций и взятия корней произвольной степени. Таким образом, дляматриц размера 5×5 и более мы по необходимости должны развиватьдля нахождения собственных значений какие-то численные методы. Кэтому добавляются трудности в раскрытии определителя, который входитв характеристическое уравнение матрицы.2 Напомним в этой связи известную в математическом анализе асимптотическуюформулу Стирлинга — n! ≈ √ 2πn(n/e) n , где e = 2.7182818...3 Иногда её называют просто «теоремой Абеля» (см., к примеру, [61]).