С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

354 3. Численные методы линейной алгебрытакже дано ниже в §3.12 как следствие теоремы Самарского, дающейдостаточные условия сходимости для итерационных методов весьма общеговида.3.10 Нестационарные итерационныеметоды для линейных систем3.10а Теоретическое введениеВ этом параграфе для решения систем линейных алгебраическихуравнений мы рассмотрим нестационарные итерационные методы, которыераспространены не меньше стационарных. В основу нестационарныхметодов могут быть положены различные идеи.В качестве первого примера рассмотрим метод простой итерации(3.98)x (k+1) ← (I −τA)x (k) +τb, k = 0,1,2,...,исследованный нами в §3.9г. Если переписать его в видеx (k+1) ← x (k) −τ ( Ax (k) −b ) , k = 0,1,2,..., (3.109)то расчёт каждой последующей итерации x (k+1) может трактоватьсякак вычитание из x (k) поправки, пропорциональной вектору текущейневязки (Ax (k) − b). Но при таком взгляде на итерационный процессможно попытаться изменять параметр τ в зависимости от шага, т. е.взять τ = τ k переменным, рассмотрев итерацииx (k+1) ← x (k) −τ k(Ax (k) −b ) , k = 0,1,2,.... (3.110)Эту нестационарную версию метода простой итерации часто связываютс именем Л.Ф. Ричардсона, предложившего её идею ещё в 1910 году.Он, к сожалению, не смог развить удовлетворительной теории выборапараметров τ k , и для решения этого вопроса потребовалось ещёнесколько десятилетий развития вычислительной математики. Отметим,что задача об оптимальном выборе параметров τ k на группе изнескольких шагов приводит к так называемым чебышёвским циклическимитерационным методам (см. [37, 45, 77]).Можно пойти по намеченному выше пути дальше, рассмотрев нестационарноеобобщение итерационного процессаx (k+1) ← (I −ΛA)x (k) +Λb, k = 0,1,2,...,