С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

2.6. Сплайны 87ных явлений. 6 Пятые производные — это уже экзотика, а производныешестого и более высоких порядков при описании реальности не встречаются.В частности, разрывы производных высоких «нефизичных»порядков у функции никак не ощутимы. Поэтому для сложно изменяющихсяпроизводных высоких порядков необходимые «нужные» значенияв фиксированных узлах можно назначить, к примеру, с помощьюпростейшей кусочно-постоянной или кусочно-линейной интерполяции,а затем добиться желаемой гладкости исходной функции с помощьюпоследовательного применения нескольких операций интегрирования.Так получается кусочно-полиномиальная функция.Понятие «сплайн-функции» было введено И. Шёнбергом в 1946 году[73], хотя различные применения тех объектов, которые впоследствиибыли названы «сплайнами», встречались в математике на протяжениипредшествующей сотни лет. Пионером здесь следует назвать,по-видимому, Н.И. Лобачевского, который в статье [70] явно использовалконструкции сплайнов и так называемых B-сплайнов. 7С середины XX века по настоящее время сплайны нашли широкиеприменения в математике и её приложениях. В вычислительныхтехнологиях они могут использоваться, в частности, для приближенияфункций, при решении дифференциальных и интегральных уравнений.Если сплайн применяется для решения задачи интерполяции, тоон называется интерполяционным. Другими словами, интерполяционныйсплайн — это сплайн, принимающий в заданных точках ˜x i , i = 0,1,. . . , r, — узлах интерполяции — требуемые значения y i . Эти узлы интерполяции,вообще говоря, могут не совпадать с узлами сплайна x i ,i = 0,1,...,n, задающим интервалы полиномиальности.Так как степень полинома равна наивысшему порядку его ненулевойпроизводной, то сплайны дефекта нуль — это функции задаваемыена всём интервале [a,b] одной полиномиальной формулой. Таким образом,термин «дефект» весьма точно выражает то, сколько сплайну«не хватает» до полноценного полинома. С другой стороны, именно наличиедефекта обеспечивает сплайну б´ольшую гибкость в сравнении сполиномами и делает сплайны в некоторых ситуациях более удобным6 Характерный пример: в книге А.К.Маловичко, О.Л.Тарунина «Использованиевысших производных при обработке и интерпретации результатов геофизическихнаблюдений» (Москва, издательство «Недра», 1981 год) рассматриваются производныевторого и третьего порядков.7 Вклад Н.И.Лобачевского даже дал повод некоторым авторам назвать специальныйвид сплайнов сплайнами Лобачевского.