С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

2.13. Квадратурные формулы Гаусса 177узлы квадратурной формулы Гаусса суть√x 1 = − = −0.77459 66692 41483... ,Для n = 435x 2 = 0,x 3 =√35= 0.77459 66692 41483... .L 4 (x) = 1 8(35x 4 −30x 2 +3 ) ,и нахождение корней этого биквадратного полинома труда не представляет.Аналогично и для n = 5, когдаL 5 (x) = 1 8(63x 5 −70x 3 +15x ) = 1 8 x( 63x 4 −70x 2 +15 ) .Соответствующие весовые коэффициенты можно легко найти решениемнебольших систем линейных уравнений, к которым редуцируетсясистема (2.126) после подстановки в неё известных значений узлов.Численные значения узлов и весов квадратурных формул Гауссадля n = 2,3,4,5 сведены в Табл. 2.3. Видно, что узлы располагаютсясимметрично относительно середины интервала интегрирования, аравноотстоящие от неё весовые коэффициенты одинаковы. Симметриярасположения узлов очевидно следует из того, что любой полином Лежандраявляется, в зависимости от номера, либо чётной, либо нечётнойфункцией.2.13д Погрешность квадратур ГауссаДля исследования остаточного члена квадратурных формул Гауссапредположим, что подинтегральная функция f(x) имеет достаточновысокую гладкость. Построим для неё интерполяционный многочлен,принимающий в узлах x 1 , x 2 , . . . , x n значения f(x 1 ), f(x 2 ), . . . , f(x n ).Коль скоро квадратурная формула Гаусса точна на полиномах степени2n − 1, то для адекватного учёта этого факта степень полинома, интерполирующегоподинтегральную функцию, также нужно взять равной2n−1. Необходимую степень можно получить, рассматривая, каки для формулы Симпсона, интерполяцию с кратными узлами, например,назначая кратность всех n узлов равной двум и предполагая вних известными фиктивные значения производных f ′ (x 1 ), f ′ (x 2 ), . . . ,f ′ (x n ).