С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

3.16. Проблема собственных значений 397Рассмотрим l-ую компоненту векторного равенства (3.142):что равносильноПо этой причинеn∑a lj v j = λv l ,j=1n∑a lj v j = (λ−a ll )v l .j=1j≠l|λ−a ll ||v l | =∣ ∑ ∣∣∣∣ a lj v j ≤ ∑ |a lj v j |∣j≠lj≠l= ∑ j≠l|a lj ||v j | ≤ |v l | ∑ j≠l|a lj |,коль скоро |v j | ≤ |v l |. Наконец, поскольку v ≠ 0, мы можем сократитьобе части полученного неравенства на положительную величину |v l |:|λ−a ll | ≤ ∑ j≠l|a lj |.Не зная собственного вектора v, мы не располагаем и номером l егонаибольшей по модулю компоненты. Но можно действовать наверняка,рассмотрев дизъюнкцию соотношений выписанного выше вида длявсех l = 1,2...,n, так как хотя бы для одного из них непременно справедливывыполненные нами рассуждения. Потому в целом, если λ —какое-либо собственное значение рассматриваемой матрицы A, должновыполняться хотя бы одно из неравенств|λ−a ll | ≤ ∑ j≠l|a lj |, l = 1,2,...,n.Каждое из этих соотношений на λ определяет на комплексной плоскостиC круг с центром в точке a ll и радиусом, равным ∑ j≠l |a lj|. Какследствие, мы приходим к результату, который был установлен в 1931году С.А. Гершгориным: