С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

122 2. Численные методы анализа(см. [45, 59]). Выбор различных норм (т. е. различных мер отклоненияфункций друг от друга) и различных классов функций обуславливаетогромное разнообразие задач теории приближения.2.10б Существование и единственностьрешения задачи приближенияНекоторые свойства решения задачи наилучшего приближения функцийможно вывести уже из абстрактной формулировки. В частности,это касается существования решения, а также единственности решенияпри некоторых дополнительных условиях на норму.Предложение 2.10.1 Пусть X — нормированное линейное пространство,а U — его конечномерное линейное подпространство. Тогда длядля любого f ∈ X существует элемент наилучшего приближенияu ∈ U.Доказательство. Пусть размерность U равна m. Зафиксировав некоторыйбазис φ 1 , φ 2 , . . . , φ m подпространства U, введём функцию∥ m r(a 1 ,a 2 ,...,a m ) =∥ f − ∑ ∥∥∥∥a j φ j .Предложение будет доказано, если мы обоснуем тот фкат, что функцияr : R m → R достигает своего наименьшего значения на R m .Прежде всего покажем, что функцияr непрерывно зависит от своихаргументов:∣∣r(b 1 ,b 2 ,...,b m )−r(a 1 ,a 2 ,...,a m ) ∣ ∥ ∥ ∣ ≤m ∣ ∥ f − ∑ ∥∥∥∥ m b j φ j −∥ f − ∑ ∥∥∥∥ ∣∣∣∣∣j φ jj=1 j=1a ∥ m∑ ∥∥∥∥ m∑∣≤(b j −a j )φ j ≤ ∣ bj −a ∣‖φj j ‖∥j=11≤j≤mj=1j=1∣ ∣ m∑≤ max ∣b j −a j∣·‖φ j ‖.j=1