С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

3.2. Теоретическое введение 223для любого i = 1,2,...,n. Иногда в связи с условиями (3.13) и (3.14)необходимо уточнять, что речь идёт о диагональном преобладании «построкам», поскольку имеет также смысл диагональное преобладание«по столбцам», которое определяется совершенно аналогичным образом.Теорема 3.2.2 (признак Адамара) Матрица с диагональным преобладаниемнеособенна.Доказательство. Предположим, что, вопреки доказываемому, рассматриваемаяматрицаA = (a ij ) является особенной. Тогда для некоторогоненулевого n-вектора y = (y 1 ,y 2 ,...,y n ) ⊤ выполняется равенствоAy = 0, т. е.n∑a ij y j = 0, i = 1,2,...,n. (3.15)j=1Выберем среди компонент вектора y ту, которая имеет наибольшееабсолютное значение. Пусть она имеет номер ν, так что |y ν | =max 1≤j≤n |y j |, причём |y ν | > 0 в силу сделанного выше предположенияо том, что y ≠ 0. Следствием ν-го из равенств (3.15) является соотношение−a νν y ν = ∑ j≠νa νj y j ,которое влечёт цепочку оценок∣ ∑ ∣∣∣|a νν ||y ν | =∣ νj y j ≤j≠νa ∑ |a νj ||y j |j≠l( )≤ max |y ∑j| |a νj | = |y ν | ∑ |a νj |.1≤j≤nj≠ν j≠νСокращая теперь обе части полученного неравенства на |y ν | > 0, будемиметь|a νν | ≤ ∑ |a νj |,j≠νчто противоречит неравенствам (3.13), т. е. наличию, по условию теоремы,диагонального преобладания в матрице A. Итак, A действительнодолжна быть неособенной матрицей.