С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

2.2. Интерполирование функций 57подобных членов коэффициент при f(x j ) будет равен⎛⎞1·x i+k+1 −x i⎜⎝∏i+k+1l=i+1l≠j1(x j −x l )−1i+k∏⎟(x j −x l ) ⎠l=il≠j= (x j −x i )−(x j −x i+k+1 )i+k+1∏(x i+k+1 −x i ) (x j −x l )l=il≠j=∏i+k+1l=il≠j1(x j −x l ),что и требовалось показать.Следствие. Разделённая разность — симметричная функция своих аргументов,т. е. узлов x 0 , x 1 , . . . , x k . Иными словами, она не изменяетсяпри любой их перестановке. Это непосредственно следует из симметричноговида выражения, стоящего в правой части (2.19).Для фиксированного набора узлов численные значения разделённыхразностей любой функции нетрудно вычислить согласно определениям(2.15)–(2.16) или по формуле (2.19). Но сложность выраженийдля разделённых разностей как функций узлов в общем случаебыстро возрастает с ростом порядка разделённой разности. Тем не менее,в случае алгебраических полиномов выражения для разделённыхразностей относительно просто получаются из выражений для исходнойфункции. Вспомним известную формулу элементарной алгебрыx n −y n = (x−y)(x n−1 +x n−2 y+···+xy n−2 +y n−1 ), из которой следует,чтоx n −y nx−y = xn−1 +x n−2 y +···+xy n−2 +y n−1 . (2.20)Этот результат позволяет явно выписать разделённую разность длялюбой целой степени переменной. Далее для произвольного полиномаможно воспользоваться свойством линейности разделённой разности(2.18).Пример 2.2.1 Вычислим разделённые разности от полинома g(x) =x 3 −4x+1.