С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

3.6. Прямые методы решения линейных систем 289Теорема 3.6.3 Пусть A — квадратная неособенная матрица. Для существованияеё LU-разложения необходимо и достаточно, чтобы онабыла строго регулярной.Доказательство. Достаточность мы доказали в Теореме 3.6.2.Для доказательства необходимости привлечём блочное представлениетреугольного разложения A = LU. Задавая разные размеры блоковв матрицах A, L и U, получим равенства, аналогичные (3.61). Ониозначают, что любая ведущая подматрица в A есть произведение ведущихподматриц соответствующих размеров из L и U. Но L и U —неособенные треугольные матрицы, так что все их ведущие подматрицытакже неособенны. Отсюда можно заключить неособенность всехведущих подматриц в A, т. е. её строгую регулярность. {j{j00← j-ая строка↑ j-ый столбецРис. 3.14. Структура матрицы СЛАУ перед началомj-го шага прямого хода метода Гаусса: другой вид.В формулировке Теоремы 3.6.2 ничего не говорится о том, реализуемли метод Гаусса для соответствующей системы линейных алгебраическихуравнений. Но нетрудно понять, что в действительности требуемоеТеоремой 3.6.2 условие отличия от нуля ведущих миноров в матрицеСЛАУ является достаточным для выполнимости рассмотренногов §3.6б варианта метода Гаусса.