С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

3.3. Нормы векторов и матриц 241тогда как из определения подчинённой нормы следует, что должнобыть‖I‖ = sup ‖Iy‖ = max ‖y‖ = 1. (3.22)‖y‖=1 ‖y‖=1Ответом на первые два вопроса являетсяПредложение 3.3.6 Для векторной 1-нормы подчинённой матричнойнормой для m×n-матриц является( m)∑‖A‖ 1 = max |a ij |1≤j≤n— максимальная сумма модулей элементов по столбцам.Для чебышёвской векторной нормы (∞-нормы) подчинённой матричнойнормой для m×n-матриц является( n)∑‖A‖ ∞ = max |a ij |1≤i≤m— максимальная сумма модулей элементов по строкам.Матричная норма, подчинённая евклидовой норме векторов ‖x‖ 2 ,есть ‖A‖ 2 = σ max (A) — наибольшее сингулярное число матрицы A.Доказательство. Для обоснования первой части предложения выпишемследующую цепочку преобразований и оценок‖Ax‖ 1 ==≤m∑ ∣ ∣∣(Ax) i =i=1m∑i=1 j=1(i=1n∑|a ij ||x j | =max1≤j≤ni=1j=1∣ m∑n∑ ∣∣∣ ∣ a ij x j ≤)m∑|a ij | ·i=1j=1n∑j=1 i=1m∑i=1 j=1m∑|a ij ||x j | =n∑|a ij x j |n∑(|x j |j=1m∑i=1)|a ij |n∑|x j | = ‖A‖ 1 ‖x‖ 1 , (3.23)j=1из которой вытекает ‖A‖ 1 ≤ ‖Ax‖ 1 /‖x‖ 1 . При этом все неравенства вцепочке (3.23) обращаются в равенства для вектора x в виде столбцаединичной n × n-матрицы с тем номером j, на котором достигается