С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

3.3. Нормы векторов и матриц 253конечные суммы называются рядами. При этом суммой ряда называетсяпредел (если он существует) сумм конечного числа слагаемых, когдаколичество слагаемых неограниченно возрастает. Совершенно аналогичнаяконструкция применима также к суммированию векторов иматриц, а не только чисел. Именно, суммой матричного ряда∞∑A (k) ,k=0где A (k) , k = 0,1,2,..., — матрицы одного размера, мы будем называтьпредел частичных сумм ∑ Nk=0 A(k) при N → ∞. В этом определенииA (k) могут быть и векторами.Предложение 3.3.11 Пусть X — квадратная матрица и ‖X‖ < 1 внекоторой матричной норме. Тогда матрица (I −X) неособенна, дляобратной матрицы справедливо представлениеи имеет место оценка(I −X) −1 =∞∑X k , (3.33)k=0∥ (I −X)−1 ∥ ∥ ≤11−‖X‖ . (3.34)Фигурирующий в правой части равенства (3.33) аналог геометрическойпрогрессии для матриц называется матричным рядом Неймана.Доказательство. Покажем неособенность матрицы (I −X). Если этоне так, то (I − X)v = 0 для некоторого ненулевого вектора v. ТогдаXv = v, и, беря от обеих частей этого равенства векторную норму,согласованную с матричной нормой, в которой по условию ‖X‖ < 1,мы получим‖X‖‖v‖≥ ‖Xv‖ = ‖v‖.В случае, когда v ≠ 0, можем сократить обе части полученного неравенствана положительную величину ‖v‖, что даёт ‖X‖ ≥ 1. Следовательно,при условии ‖X‖ < 1 и ненулевых v равенство (I − X)v = 0невозможно.