С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

348 3. Численные методы линейной алгебрыРассмотрим теперь отдельно l-ое неравенство из (3.106). Привлекаяравенство (3.107), можем утверждать, что∥ ∥ z(k+1) ∞≤ ∥ ∥ l−1∣∑z(k+1) a lj∣∣∣∞ ∣ +κ ∥ ∥ (l−1∣)∑z(k) a ∞1−a lj∣∣∣ll∣ ,a llj=1j=1то есть∥ ∥ ∑l−1∣)z(k+1) ∞(1−a lj∣∣∣∣ ≤ κ ∥ ∥ ∑l−1∣)z(k) a ∞(1−a lj∣∣∣ll∣ . (3.108)a llКонечно, значение индекса l, на котором достигается равенство (3.107),может меняться в зависимости от номера итерацииk. Но так как вплотьдо оценки (3.106) мы отслеживали все компоненты погрешностиz (k+1)i ,то вне зависимости от k неравенство (3.108) должно быть справедливымдля компоненты с номером l, определяемой условием (3.107).Далее, в силу диагонального преобладания в матрице A∑l−1∣ 1−a lj∣∣∣∣ > 0,a llj=1и на эту положительную величину можно сократить обе части неравенства(3.108). Окончательно получаем∥ z(k+1) ∥ ∥∞≤ κ ∥ ∥ z(k) ∥ ∥∞,j=1j=1что при |κ| < 1 означает сходимость метода Гаусса-Зейделя.Фактически, в доказательстве Предложения 3.9.4 мы получили дажеоценку уменьшения чебышёвской нормы погрешности через «мерудиагонального преобладания» в матрице СЛАУ, в качестве которой можетвыступать величина κ, определённая посредством (3.105).Теорема 3.9.2 Если в системе линейных алгебраических уравненийAx = b матрица A является симметричной положительно определённой,то метод Гаусса-Зейделя сходится к решению из любого начальногоприближения.Доказательство может быть найдено, к примеру, в [3, 11]. Теорема3.9.2 является частным случаем теоремы Островского-Райха (теорема3.9.3), которая, в свою очередь, может быть получена как следствие