С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

352 3. Численные методы линейной алгебрыв сравнении с методом Гаусса-Зейделя. Несколько упрощённое объяснениеэтого явления может состоять в том, что если направление отx (k) к x (k+1) оказывается удачным в том смысле, что приближает к искомомурешению, то имеет смысл пройти по нему и дальше, за x (k+1) .Это соответствует случаю ω > 1.Важно отметить, что метод релаксации также укладывается в изложеннуюв §3.9в схему итерационных процессов, порождаемых расщеплениемматрицы решаемой системы уравнений. Именно, мы берёмA = G ω −H ω с матрицамиG ω = D+ω˜L,H ω = (1−ω)D−ωŨ.Необходимое и достаточное условие сходимости метода релаксации принимаетпоэтому видρ ( G −1ω H ω)< 1.Для некоторых специфичных, но очень важных задач математическойфизики значение релаксационного параметра ω, при котором величинаρ ( )G −1ω H ω достигает минимума, находится относительно просто.В более сложных задачах для оптимизации ω требуется весьматрудный анализ спектра матрицы перехода G −1ω H ω из представления(3.97). Обзоры состояния дел в этой области читатель может найти в[45, 49, 77, 95, 96].Предложение 3.9.5 Если C ω = ( D+ω˜L ) −1((1−ω)D−ω Ũ ) — матрицаоператора перехода метода релаксации, то ρ(C ω ) ≥ |ω −1|. Какследствие, неравенство0 < ω < 2 на параметр релаксации необходимодля сходимости метода.Доказательство. Прежде всего, преобразуем матрицу C ω для приданияей более удобного для дальнейших выкладок вида:C ω = ( D+ω˜L ) −1((1−ω)D−ω Ũ )= ( D(I +ωD −1˜L) ) −1 ((1−ω)D−ω Ũ )= ( I +ωD −1˜L) −1D −1 ( (1−ω)D −ωŨ)= ( I +ωD −1˜L) −1 ((1−ω)I −ωD −1 Ũ ) .