С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

224 3. Численные методы линейной алгебрыДоказанный выше результат часто именуют также «теоремой Леви-Деспланка» (см., к примеру, [41, 50]), но мы придерживаемся здесьтерминологии, принятой в [9, 79]. В книге М. Пароди [79] можно прочитать,в частности, некоторые сведения об истории вопроса.Внимательное изучение доказательства признака Адамара показывает,что в нём нигде не использовался факт принадлежности элементовматрицы и векторов какому-то конкретному числовому полю — Rили C. Таким образом, признак Адамара справедлив и для комплексныхматриц. Кроме того, он может быть отчасти обобщен на матрицы,удовлетворяющие нестрогому диагональному преобладанию (3.14).Вещественная или комплексная n × n-матрица A = (a ij ) называетсяразложимой, если существует разбиение множества {1,2,...,n}первых n натуральных чисел на два непересекающихся подмножестваI и J, таких что a ij = 0 при i ∈ I и j ∈ J. Эквивалентное определение:матрица A ∈ R n×n разложима, если путём перестановок строк истолбцов она может быть приведена к блочно-треугольному виду(A11 A 120 A 22)с квадратными блоками A 11 и A 22 . Матрицы, не являющиеся разложимыми,называются неразложимыми. Важнейший пример неразложимыхматриц — это матрицы, все элементы которых не равны нулю, вчастности, положительны.Обобщением признака Адамара являетсяТеорема 3.2.3 (теорема Таусски) Если для квадратной неразложимойматрицы A выполнены условия нестрогого диагонального преобладания(3.14), причём хотя бы одно из этих неравенств выполненострого, то матрица A неособенна.Доказательство можно найти, к примеру, в [9].3.3 Нормы векторов и матриц3.3а Векторные нормыНорму можно рассматривать как обобщение на многомерный и абстрактныйслучаи понятия абсолютной величины числа. Вообще, и