С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

2.3. Полиномы Чебышёва 71Найдём корни полиномов Чебышёва на вещественном интервале[−1,1]. Исходя из представления (2.27), вспомним, каковы нули косинуса.Должно бытьn arccosx = π +kπ, k ∈ Z,2причём в этой формуле k можно брать таким, чтобы область значенийправой части не выходила за интервал [0,nπ], когда имеет смысл леваячасть. Итак, корни полинома Чебышёва суть˚x k = cos(2k +1)π, k = 0,1,...,n−1. (2.31)2nВ целом, полином T n (x) имеет n вещественных различных корней,все они в самом деле находятся на интервале [−1,1] и выражаются ввиде (2.31). Расположение корней полинома Чебышёва можно нагляднопроиллюстрировать чертежом на Рис. 2.7, где эти корни соответствуютабсциссам точек пересечения единичной окружности с центром вначале координат с радиусами, откладываемыми через одинаковые долиразвёрнутого угла. Из этой иллюстрации хорошо видно, что корниполинома Чебышёва расположены существенно неравномерно: они сгущаютсяк концам интервала [−1,1], а в середине более разрежены.−1 0 1 xРис. 2.7. Иллюстрация расположения корней полиномов Чебышёва.Максимум модуля значений полинома Чебышёва на [−1,1] равен 1,max |T n(x)| = 1,x∈[−1,1]этот максимум достигается в точках x s = cos(sπ/n), s = 0,1,...,n,причём T n (x s ) = (−1) s , s = 0,1,...,n. Это непосредственно следует