С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

486 4. Решение нелинейных уравнений и их системтесты существования Мура и Куи, основывающиеся на теоремах Лерэ-Шаудера и Брауэра и наиболее часто используемые при практическихдоказательных вычислениях решений уравнений, охватывают толькослучаи индекса ±1 особой точки F. Если же решение системы являетсякритической точкой соответствующего отображения с индексом, неравным ±1, то доказать его существование с помощью вышеупомянутыхрезультатов принципиально не получится. Это объясняет, почемумногие существующие практические интервальные алгоритмы для доказательногоглобального решения систем уравнений не могут достичь«полного успеха» в общем случае.Помимо вышеназванной причины необходимо отметить, что списокВозможноРешения может соответствовать неустойчивым решениямсистемы уравнений, имеющим нулевой индекс. Эти решения разрушаютсяпри сколь угодно малых возмущениях уравнений и потому немогут быть идентифицированы никаким приближенным вычислительнымалгоритмом с конечной точностью представления данных. К примеру,таковым является кратный корень квадратного уравнения (4.5)–(4.6), и хорошо известно, что он плохо находится численно как традиционными,так и интервальными подходами.Алгоритмы ветвлений и отсечений, дополненные различными усовершенствованиямии приёмами, ускоряющими сходимость, получилибольшое развитие в интервальном анализе в последние десятилетия(см., например, книги [35, 41, 45, 46]), а реализованные на их основепрограммные комплексы существенно продвинули практику численногорешения уравнений и систем уравнений.Литература к главе 4Основная[1] Алефельд Г., Херцбергер Ю. Введение в интервальные вычисления. –Москва: Мир, 1987.[2] Акритас А. Основы компьютерной алгебры с приложениями. – Москва: Мир,1994.[3] Барахнин В.Б., Шапеев В.П. Введение в численный анализ. – Санкт-Петербург–Москва– Краснодар: Лань, 2005.[4] Бауэр Ф.Л., Гооз Г. Информатика. В 2-х ч. – Москва: Мир, 1990.[5] Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. –Москва: Бином, 2003, а также другие издания этой книги.