С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

3.7. Методы на основе ортогональных преобразований 307В результате выполнения первого шага матрица СЛАУ приводится,как и в методе Гаусса, к виду⎛⎞× × × ··· ×0 × × ··· ×0 × × . . . ..⎜ .⎝ . . . .. ⎟ . ⎠0 × × ··· ×где крестиками «×» обозначены элементы, которые, возможно, не равнынулю. Проделаем теперь то же самое с матрицей A(2 : n,2 : n),обнулив у неё поддиагональные элементы первого столбца, которыйявляется вторым во всей большой матрице. И так далее до (n −1)-гостолбца.Таблица 3.1. QR-разложение матрицыс помощью отражений ХаусхолдераDO FOR j = 1 TO n−1END DOIF ( вектор A((j +1) : n,j) ненулевой ) THENвычислить вектор Хаусхолдера u, отвечающийотражению, которое переводит вектор A(j : n,j)в (n−j +1)-вектор (1,0,...,0) ⊤ ;˜H ← I −2uu ⊤ ;ELSE˜H ← I ;END IFA(j : n,j : n) ← ˜HA(j : n,j : n);Определим теперь H j , j = 2,3,...,n−1, как n×n-матрицу отражения,порождаемую вектором Хаусхолдера u ∈ R n , который имеет нулевымипервые j−1 компонент и подобран так, чтобы H j (u) аннулировалаподдиагональные элементы j-го столбца в матрице H j−1···H 2 H 1 A,