С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

3.3. Нормы векторов и матриц 235(МН1) ‖A‖ ≥ 0 для любой матрицы A, причём ‖A‖ = 0 ⇔ A = 0— неотрицательность,(МН2) ‖αA‖ = |α|·‖A‖ для любых матрицы A и α ∈ R или α ∈ C— абсолютная однородность,(МН3) ‖A+B‖ ≤ ‖A‖+‖B‖ для любых матриц A,B,C— «неравенство треугольника».Но условия (МН1)–(МН3) выражают взгляд на матрицу, как на«вектор размерности m×n». Они явно недостаточным, если мы хотимучесть специфику матриц как объектов, между которыми определенатакже операция умножения. В частности, множество всех квадратныхматриц фиксированного размера наделено более богатой структурой,нежели линейное векторное пространство, и обычно в связи с ним используютуже термин «кольцо» или «алгебра», обозначающее множествос двумя взаимносогласованными бинарными операциями — сложениеми умножением (см. [23, 40]). Связь нормы матриц с операциейих умножения отражает четвёртая аксиома матричной нормы:(МН4) ‖AB‖ ≤ ‖A‖·‖B‖ для любых матриц A,B— «субмультипликативность». 6Особую ценность и в теории, и на практике представляют ситуации,когда нормы векторов и нормы матриц, с которыми они совместно рассматриваютсяи на которые умножаются, существуют не сами по себе,но в некотором смысле согласованы друг с другом. Инструментом такогосогласования может как раз-таки выступать аксиома субмультипликативностиМН4, понимаемая в расширенном смысле, т. е. для любыхматриц A и B таких размеров, что произведение AB имеет смысл. Вчастности, она должна быть верна для n × 1-матриц B, являющихсявекторами из R n .Определение 3.3.4 Векторная норма ‖·‖ и матричная норма ‖·‖ ′называются согласованными, еслидля для любой матрицы A и всех векторов x.‖Ax‖ ≤ ‖A‖ ′ ·‖x‖ (3.19)6 Приставка «суб-» означает «меньше», «ниже» и т. п. В этом смысле неравенстватреугольника ВН3 и МН3 можно называть «субаддитивностью» норм.