С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

426 3. Численные методы линейной алгебрыТаблица 3.14. QR-алгоритм со сдвигами для нахождениясобственных значений матрицы Ak ← 0;A (0) ← A;DO WHILE ( метод не сошёлся )выбрать сдвиг ϑ k вблизи собственного значения A;вычислить QR-разложение A (k) −ϑ k I = Q (k) R (k) ;A (k+1) ← R (k) Q (k) +ϑ k I;k ← k +1;END DOвычисляемые матрицы A (k) и A (k+1) ортогонально подобны, совершеннотак же, как и в исходной версии QR-алгоритма:A (k+1) = R (k) Q (k) +ϑ k I = ( Q (k)) ⊤Q (k) R (k) Q (k) +ϑ k(Q(k) ) ⊤Q(k)= ( Q (k)) ⊤(Q (k) R (k) +ϑ k I ) Q (k) = ( Q (k)) ⊤A (k) Q (k) .То есть, представленная организация сдвигов позволила сделать их водно и то же время локальными и динамическими по характеру.Пример 3.17.8 Проиллюстрируем работу QR-алгоритма со сдвигамина знакомой нам матрице (3.149)⎛ ⎞1 −2 3⎜ ⎟⎝ 4 5 −6 ⎠−7 8 9из предыдущего примераПредложение 3.17.4 Матрица, имеющая хессенбергову форму, сохраняетэту форму при выполнении с ней QR-алгоритма.