С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

422 3. Численные методы линейной алгебрыРазличные способы выбора ненулевых внедиагональных элементов,подлежащих обнулению, приводят к различным практическим версиямметода Якоби.Выбор наибольшего по модулю внедиагонального элемента — наилучшеедля отдельно взятого шага алгоритма решение. Но поиск этогоэлемента имеет трудоёмкость n(n −1)/2, что может оказаться весьмадорогостоящим, особенно для матриц больших размеров. Преобразованиеподобия с матрицей вращений обходится всего в O(n) операций!Чаще применяют циклический обход столбцов (или строк) матрицы,и наибольший по модулю элемент берут в пределах рассматриваемогостолбца (строки).Наконец, ещё одна популярная версия — это так называемый «барьерныйметод Якоби», в котором назначают величину «барьера» назначение модуля внедиагональных элементов матрицы, и алгоритм обнуляетвсе элементы, модуль которых превосходит этот барьер. Затембарьер понижается, процесс обнуления повторяется заново, и так дотех пор, пока не будет достигнута требуемая точность.К 70-м годам пошлого века, когда было разработано немало эффективныхчисленных методов для решения симметричной проблемысобственных значений, стало казаться, что метод Якоби устарел и будетвытеснен из широкой вычислительной практики (см., к примеру,рассуждения в [78]). Дальнейшее развитие не подтвердило эти пессимистичныепрогнозы. Выяснилось, что метод Якоби почти не имеетконкурентов по точности нахождения малых собственных значений, тогдакак методы, основанные на трёхдиагонализации исходной матрицы,могут терять точность (соответствующие примеры приведены в [13]).Кроме того, метод Якоби оказался хорошо распараллеливаемым, т. е.подходящим для расчётов на современных многопроцессорных ЭВМ.3.17е Базовый QR-алгоритмQR-алгоритм, изложению которого посвящён этот параграф, являетсяодним из наиболее эффективных численных методов для решенияполной проблемы собственных значений. Он был изобретён независимоВ.Н. Кублановской (1960 год) и Дж. Фрэнсисом (1961 год). ПубликацияВ.Н. Кублановской появилась раньше 29 , а Дж. Фрэнсис более пол-29 Упоминая о вкладе В.Н.Кублановской в изобретение QR-алгоритма, обычноссылаются на её статью 1961 года в «Журнале вычислительной математики и математическойфизики» [75]. Но первое сообщение о QR-алгоритме было опубликовано