С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

332 3. Численные методы линейной алгебрычто это условие на спектральный радиус является и достаточным: еслиρ(A) < 1, то мы можем подобрать матричную норму так, чтобы‖A‖ < 1, и тогда ‖A n ‖ ≤ ‖A‖ n → 0 при n → ∞.С учётом Предложения 3.9.2 более точно переформулируются условиясходимости матричного ряда Неймана (Предложение 3.3.11): онсходится для матрицы A тогда и только тогда, когда ρ(A) < 1, а условие‖A‖ < 1 является всего лишь достаточным.Заметим, что для несимметричных матриц нормы, близкие к спектральномурадиусу, могут оказаться очень экзотичными и даже неестественными.Это видно из доказательства Теоремы 3.9.1. Как правило,исследовать сходимость итерационных процессов лучше всё-таки вобычных нормах, часто имеющих практический смысл.Интересен вопрос о выборе начального приближения для итерационныхметодов решения СЛАУ. Иногда его решают из каких-то содержательныхсоображений, когда в силу физических и прочих содержательныхпричин бывает известно некоторое хорошее приближение крешению, а итерационный метод предназначен для его уточнения. Приотсутствии таких условий начальное приближение нужно выбирать наоснове других идей.Например, если в рекуррентном виде x = Cx + d, исходя из которогостроятся сходящиеся итерации, матрица C имеет «малую» норму(относительно неё мы вправе предполагать, что ‖C‖ < 1), то тогдачленом Cx можно пренебречь. Как следствие, точное решение не сильноотличается от вектора свободных членов d, и поэтому можно взятьx (0) = d. Этот вектор привлекателен также тем, что получается какпервая итерация при нулевом начальном приближении. Беря x (0) = d,мы экономим на этой итерации.3.9в Подготовка линейной системык итерационному процессуВ этом параграфе мы исследуем различные способы приведениясистемы линейных алгебраических уравненийк равносильной системе в рекуррентном видеAx = b (3.94)x = Cx+d, (3.95)