С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

146 2. Численные методы анализа2.12б Формулы Ньютона-Котеса.Простейшие квадратурные формулыПростейший приём построения квадратурных формул — замена подинтегральнойфункции f(x) на интервале интегрирования [a,b] на «болеепростую», легче интегрируемую функцию, которая интерполируетили приближает f(x) по заданным узлам x 0 , x 1 , . . . , x n . В случае,когда f(x) заменяется интерполянтом и все рассматриваемые узлы —простые, говорят о квадратурных формулах интерполяционного типа,или, что равносильно, об интерполяционных квадратурных формулах.Наиболее часто подинтегральную функцию интерполируют полиномами,и в нашем курсе мы будем рассматривать только такие интерполяционныеквадратурные формулы.Формулами Ньютона-Котеса называют интерполяционные квадратурныеформулы, полученные с помощью алгебраической интерполяцииподинтегральной функции на равномерной сетке с простыми узлами.В зависимости от того, включаются ли концы интервала интегрирования[a,b] в множество узлов квадратурной формулы или нет,различают формулы Ньютона-Котеса замкнутого типа и открытоготипа.Далее мы построим и исследуем формулы Ньютона-Котеса для n =0,1,2, причём будем строить наиболее популярные формулы замкнутоготипа за исключением случая n = 0, когда имеем всего один узели замкнутая формула просто невозможна.Если n = 0, то подинтегральная функция f(x) интерполируется полиномомнулевой степени, т. е. какой-то константой, равной значениюf(x) в единственном узле x 0 . Если взять x 0 = a, то получается квадратурнаяформула «левых прямоугольников», а если x 0 = b — формула«правых прямоугольников» (см. Рис. 2.21).Ещё один естественный вариант выбора единственного узла —x 0 = 1 2 (a+b),т. е. как середины интервала интегрирования [a,b]. При этом приходимк квадратурной формуле∫ ba( a+b)f(x)dx ≈ (b−a)·f ,2называемой формулой средних прямоугольников: согласно ей интегралберётся равным площади прямоугольника с основанием (b−a) и высо-