С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

282 3. Численные методы линейной алгебрынетрудно понять, что L — нижняя треугольная матрица, для которойв силу (3.58) справедливоA = LU.Получается, что исходная матрица СЛАУ оказалась представленнойв виде произведения нижней треугольной L и верхней треугольной Uматриц. Это представление называют треугольным разложением матрицыили LU-разложением. 12Соответственно, преобразования матрицы A в прямом ходе методаГаусса можно трактовать как её разложение на нижний треугольныйL и верхний треугольный U множители. В результате исходная СЛАУпредставляется в равносильной формеL(Ux) = b,решение которой сводится к решению двух треугольных систем линейныхалгебраических уравнений{Ly = b,(3.59)Ux = yс помощью прямой и обратной подстановок соответственно.Отметим, что при реализации метода Гаусса на компьютере дляэкономии машинной памяти можно хранить треугольные сомножителиL и U на месте A, так как у L по диагонали стоят все единицы.3.6г Метод Гаусса с выборомведущего элементаИ в прямом, и в обратном ходе метода Гаусса встречаются операцииделения, которые не выполнимы в случае, когда делитель равеннулю. Тогда не может быть выполнен и метод Гаусса в целом. Этотраздел посвящен тому, как модифицировать метод Гаусса, чтобы онбыл применим для решения любых СЛАУ с неособенными матрицами.Ведущим элементом в методе Гаусса называют элемент матрицырешаемой системы, на который выполняется деление при исключении12 От английских слов lower (нижний) и upper (верхний). Нередко для обозначенияэтого же понятия можно встретить кальки с иностранных терминов — «LUфакторизация»и «LU-декомпозиция».