С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

2.6. Сплайны 95двух переменных величин u и v пишут, что u = O(v), если отношениеu/v есть величина ограниченная в рассматриваемом процессе. В формулировкеТеоремы 2.6.1 и в других ситуациях, где идёт речь о шагесетки h, мы всюду имеем в виду h → 0. Удобство использования символаO(·) состоит в том, что, показывая качественный характер зависимости,он не требует явного выписывания констант, которые должныфигурировать в соответствующих отношениях.Обоснование Теоремы 2.6.1 разбивается на ряд частных случаев, соответствующихразличным значениям гладкостиpипорядка производнойk. Их доказательства можно увидеть, к примеру, в [10, 12, 29]. Повышениегладкости p интерполируемой функции f(x) выше, чем p = 4,уже не оказывает влияния на погрешность интерполирования, так какинтерполяционный сплайн кубический, т. е. имеет степень 3. С другойстороны, свои особенности имеет также случай p = 0, когда интерполируемаяфункция всего лишь непрерывна, и мы не приводим здесьполную формулировку соответствующего результата о погрешности.Отметим, что, в отличие от алгебраических интерполянтов, последовательностьинтерполяционных кубических сплайнов на равномернойсетке узлов всегда сходится к интерполируемой непрерывной функции.Это относится, в частности, и к функции Υ(x) = 1/(1+25x 2 ) изпримера Рунге (см. §2.5). Важно также, что с повышением гладкостиинтерполируемой функции до определённого предела сходимость этаулучшается.С другой стороны, интерполирование сплайнами иллюстрирует такжеинтересное явление насыщения численных методов, когда, начинаяс какого-то порядка, увеличение гладкости исходных данных задачиуже не приводит к увеличению точности результата. Соответствующиечисленные методы называют насыщаемыми. Напротив, ненасыщаемыечисленные методы, там, где их удаётся построить и применить, даютвсё более точное решение при увеличении гладкости решения [37].Основной недостаток понятий насыщаемости / ненасыщаемости состоитв трудности практического определения гладкости данных, которыеприсутствуют в предъявленной к решению задаче.2.6в Экстремальное свойство кубических сплайновИнтерполяционные кубические сплайны S(x), удовлетворяющие наконцах рассматриваемого интервала [a,b] дополнительным условиямS ′′ (a) = S ′′ (b) = 0, (2.57)