С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

3.17. Численные методы для проблемы собственных значений 419не изменяется при умножениях на ортогональные матрицы слеваили справа.Доказательство. Напомним, что следом матрицы A = (a ij ), обозначаемымtrA, называется сумма всех её диагональных элементов:n∑trA = a ii .Нетрудно проверить, что привлечение понятия следа позволяет переписатьопределение фробениусовой нормы матрицы таким образом⎛ (n∑ n) ⎞ 1/2∑‖A‖ F = ⎝ a ij a ij⎠ = ( tr(A ⊤ A) ) 1/2.j=1i=1Следовательно, для любой ортогональной матрицы Q справедливо‖QA‖ F =(tr ( (QA) ⊤ (QA) )) 1/2=i=1(tr ( A ⊤ Q ⊤ QA )) 1/2=(tr(A ⊤ A) ) 1/2= ‖A‖F .Для доказательства аналогичного соотношения с умножением на ортогональнуюматрицу справа заметим, что фробениусова норма не меняетсяпри транспонировании матрицы. Следовательно,‖AQ‖ F = ∥ ∥ ( Q ⊤ A ⊤) ⊤∥∥F = ‖Q ⊤ A ⊤ ‖ F = ‖A ⊤ ‖ F = ‖A‖ F ,что завершает доказательство Предложения.Следствие. Фробениусова норма матрицы не меняется при ортогональныхпреобразованиях подобия.Для более точного описания меры близости матриц A (k) , которыепорождаются конструируемым нами методом, к диагональной матрицевведём величину( ) 1/2 ∑ND(A) = a 2 ijj≠i— фробениусову норму внедиагональной части матрицы. Ясно, чтоматрица A диагональна тогда и только тогда, когда ND(A) = 0.