С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

274 3. Численные методы линейной алгебрыобласти. На границе области имеем условияu i0 = f i, u in = f i , (3.49)u 0j = g j, u mj = g j , (3.50)i = 1,2,...,m−1, j = 1,2,...,n−1. Соотношения (3.48) и (3.46)–(3.47)образуют, очевидно, систему линейных алгебраических уравнений относительнонеизвестных u ij , i = 1,2,...,m−1, j = 1,2,...,n−1, но онане имеет канонический вид (3.43), так как незвестные имеют двойныеиндексы. Конкретный вид (3.43), который получит решаемая системауравнений, зависит от способа выбора базиса в пространстве векторовнеизвестных, в частности, от способа перенумерации этих неизвестных,при котором мы образуем из них вектор с одним индексом.Ясно, что рассмотренный пример может быть сделан ещё более выразительнымв трёхмерном случае, когда нам необходимо численно решатьтрёхмерное уравнение Лапласа.Системы линейных алгебраических уравнний, аналогичные рассмотреннойв Примере 3.6.1, где матрица и вектор неизвестных не заданы вявном виде, будем называть системами в операторной форме. Не все изизложенных ниже методов решения СЛАУ могут быть непосредственноприменены к системам подобного вида.По характеру вычислительного алгоритма методы решения уравненийи систем уравнений традиционно разделяют на прямые и итерационные.В прямых методах искомое решение получается в результатевыполнения конечной последовательности действий, так что эти методынередко называют ещё конечными или даже точными. Напротив, витерационных методах решение достигается как предел некоторой последовательностиприближений, которая конструируется по решаемойсистеме уравнений.Одна из основных идей, лежащих в основе прямых методов длярешения систем линейных алгебраических уравнений, состоит в том,чтобы эквивалентными преобразованиями привести решаемую системук наиболее простому виду, из которого решение находится уже непосредственно.В качестве простейших могут выступать системы с диагональными,двухдиагональными, треугольными и т. п. матрицами. Чемменьше ненулевых элементов остаётся в матрице преобразованной системы,тем проще и устойчивее её решение, но, с другой стороны, темсложнее и неустойчивее приведение к такому виду. На практике обыч-