С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

3.17. Численные методы для проблемы собственных значений 411Доминирующим собственным значением здесь является λ 2 .Начав итерирование с вектора x (0) = (1,1) ⊤ , уже через 7 итерациймы получим 6 правильных десятичных знаков в вещественной и мнимойчастях собственного значения. Но вот в порождаемых алгоритмомнормированных векторах x (k) —x (9) =( ) −0.01132−0.43223i,−0.11659−0.89413i( ) 0.40491−0.15163ix (10) =,0.80725−0.40175i( ) 0.27536+0.33335ix (11) =,0.64300+0.63215i( ) 0.22535+0.36900ix (12) =,−0.38795+0.81397iи так далее — нелегко «невооружённым глазом» узнать один и тот жесобственный вектор, который «крутится» в одномерном комплексноминвариантном подпространстве. Но если поделить все получающиесявекторы на их первую компоненту, то получим один и тот же результат( )1.,2.07430−0.21542iи теперь уже налицо факт сходимости собственных векторов.Как ведёт себя степенной метод в случае, когда матрица A не являетсядиагонализуемой? Полный анализ ситуации можно найти, например,в книгах [42, 44]. Наиболее неблагоприятен при этом случай, когдадоминирующее собственное значение находится в жордановой клеткеразмера два и более. Теоретически степенной метод всё таки сходитсяк этому собственному значению, но уже медленнее любой геометрическойпрогрессии.Пример 3.17.3 Рассмотрим работу степенного метода в применениик матрице( ) 1 1,0 1