С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

214 3. Численные методы линейной алгебры3.2г Сингулярные числаи сингулярные векторы матрицыИз результатов раздела 3.2б следует, что для определения собственныхзначений матрицы A и её левых и правых собственных векторовнеобходимо решить систему уравнений{Ax = λx,y ∗ A = λy ∗ .(3.5)Система уравнений (3.5) является «распавшейся»: в ней первыеnуравненийи последние n уравнений не зависят друг от друга. Поэтому решатьеё также можно по частям, отдельно для x и отдельно для y, чтообычно и делают на практике. Отметим, что для вещественных собственныхчисел, когда λ = λ, системе (3.5) после эрмитова сопряжениявторой части можно придать следующий элегантный матричный вид(A 00 A ∗ )(xy)= λ(xy). (3.6)Изменим соотношения (3.5), чтобы они «завязались» друг на друга,поменяв в правых частях векторы x и y :{Ax = σy,y ∗ A = σx ∗ .(3.7)Фигурально можно сказать, что при этом векторы x и y становятся«право-левыми» или «лево-правыми» собственными векторами матрицыA. Как мы увидим вскоре, аналоги собственных чисел матрицы,которые мы переобозначили через σ, также получают новое содержание.Определение 3.2.2 Неотрицательные вещественные скаляры σ, которыеявляются решениями системы матричных уравнений (3.7),называются сингулярными числами матрицы A. Удовлетворяющиесистеме (3.7) векторы x называются правыми сингулярными векторамиматрицы A, а векторы y — левыми сингулярными векторамиматрицы A.