С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

300 3. Численные методы линейной алгебрычисло обусловленностиcond 2 (B) = 2.62. Преобразования метода Гауссапревращают её в матрицу( ) 1 2˜B = ,0 10для которой число обусловленности уже равно cond 2 (˜B) = 10.4, т. е.существенно возрастает.Числовые данные этого примера читатель может проверить с помощьюсистем компьютерной математики, таких как Scilab, Matlab иим аналогичных.Фактически, ухудшение обусловленности и, как следствие, всё б´ольшаячувствительность решения к погрешностям в данных — это дополнительнаяплата за приведение матрицы (и всей СЛАУ) к удобному длярешения виду. Можно ли уменьшить эту плату? И если да, то как?Хорошей идеей является привлечение для матричных преобразованийортогональных матриц, которые имеют наименьшую возможнуюобусловленность в спектральной норме (и небольшие числа обусловленнстив других нормах). Умножение на такие матрицы, по крайнеймере, не будет ухудшать обусловленность получающихся систем линейныхуравнений и устойчивость их решений к ошибкам вычислений.3.7б QR-разложение матрицОпределение 3.7.1 Для матрицы A представление A = QR в видепроизведения ортогональной матрицы Q и правой треугольной матрицыR называется QR-разложением.По поводу этого определения следует пояснить, что правая треугольнаяматрица — это то же самое, что верхняя треугольная матрица,которую мы условились обозначать U. Другая терминология обусловленаздесь историческими причинами, и частичное её оправданиесостоит в том, что QR-разложение матрицы действительно «совсемдругое», нежели LU-разложение. Впрочем, в математической литературеможно встретить тексты, где LU-разложение матрицы называется«LR-разложением» (от английских слов left-right), т. е. разложением на«левую и правую треугольные матрицы».Теорема 3.7.1 QR-разложение существует для любой квадратнойматрицы.