С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

320 3. Численные методы линейной алгебрыОтсюдаc ix i = − x i+1 + d i −a i η i.a i ξ i +b i a i ξ i +b iСравнивая эту формулу с двучленными расчётными формулами (3.86),можем заключить, чтоc iξ i+1 = − , (3.87)a i ξ i +b iη i+1 = d i −a i η ia i ξ i +b i, (3.88)для i = 1,2,...,n. Это формулы прямого хода прогонки, целью которогоявляется вычисление величин ξ i и η i , называемых прогоночнымикоэффициентами. Вместе с формулами обратного хода (3.86) они определяютметод прогонки для решения систем линейных алгебраическихуравнений с трёхдиагональной матрицей.Для начала расчётов требуется знать величины ξ 1 и η 1 в прямомходе и x n+1 — в обратном. Формально они неизвестны, но фактическиполностью определяются условием a 1 = c n = 0. Действительно, конкретныезначения ξ 1 и η 1 не влияют на результаты решения, потомучто в формулах (3.87)–(3.88) прямого хода прогонки они встречаются смножителем a 1 = 0. Кроме того, из формул прямого хода следует, чтоc n 0ξ n+1 = − = − = 0,a n ξ n +b n a n ξ n +b nа это коэффициент при x n+1 в обратном ходе прогонки. Поэтому иx n+1 может быть произвольным. Итак, для начала прогонки можноположить, к примеру,ξ 1 = η 1 = x n+1 = 0. (3.89)Дадим теперь достаточные условия выполнимости метода прогонки,т. е. того, что знаменатели в расчётных формулах прямого ходане обращаются в нуль. Эти условия, фактически, будут также обосновыватьвозможность приведения трёхдиагональной матрицы исходнойСЛАУ к двухдиагональному виду (3.85) преобразованиями прямого ходаметода Гаусса без перестановки строк или столбцов, так как этипреобразования являются ничем иным, как прямым ходом метода прогонки.