С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

3.9. Стационарные итерационные методы 331откудаx (k) −x ⋆ = C(x (k−1) −x ⋆ )= C 2 (x (k−2) −x ⋆ )= ··· ···= C k (x (0) −x ⋆ ).Так как левая часть этих равенств при k → ∞ сходится к нулю, тодолжна сходиться к нулю и правая, причём для любого вектора x (0) . Всилу единственности и, как следовательно, фиксированности решенияx ⋆ вектор (x (0) −x ⋆ ) также может быть произвольным, и тогда сходимостьпогрешности к нулю возможна лишь при C k → 0. На основанииПредложения 3.3.10 (стр. 251) заключаем, что спектральный радиус Cдолжен быть строго меньше 1.Достаточность. Если ρ(C) < 1, то взяв положительное ǫ удовлетворяющимоценке ǫ < 1 −ρ(C), мы можем согласно Предложению 3.9.2выбрать матричную норму ‖·‖ ǫ так, чтобы выполнялось неравенство‖C‖ ǫ < 1. Далее в этих условиях применимо Предложение 3.9.1, котороеутверждает сходимость итерационного процесса (3.92)x (k+1) ← Cx (k) +d, k = 0,1,2,... .Это завершает доказательство Теоремы 3.9.1.Доказанные результаты — теорема и два предложения — проясняютроль спектрального радиуса среди различных характеристик матрицы.Мы могли видеть в §3.3ж, что спектральный радиус не является матричнойнормой, но, как выясняется, его с любой степенью точностиможно приблизить некоторой подчинённой матричной нормой. Крометого, понятие спектрального радиуса оказывается чрезвычайно полезнымпри исследовании итерационных процессов и вообще степенейматрицы.Следствие из Предложения 3.9.2. Степени матрицы A k сходятся кнулевой матрице при k → ∞ тогда и только тогда, когда ρ(A) < 1.В самом деле, ранее мы установили (Предложение 3.3.10), что изсходимости степеней матрицы A k при k → ∞ к нулевой матрице вытекаетρ(A) < 1. Теперь результат Предложения 3.9.2 позволяет сказать,