С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

3.3. Нормы векторов и матриц 2293.3б Топология на векторных пространствахГоворят, что на множестве X задана топологическая структура,или просто топология 5 , если в X выделен класс подмножеств, содержащийвместе с каждым набором множеств их объединение, и вместес каждым конечным набором множеств — их пересечение. Множество,снабжённое топологической структурой, называется топологическимпространством, а множества выделенного класса — открытыми множествами.Подмножество топологического пространства называетсязамкнутым, если его дополнение открыто.Окрестностью точки в топологическом пространстве называетсявсякое открытое множество, содержащее эту точку. Окрестностью подмножестватопологического пространства называется всякое открытоемножество, содержащее это подмножество. Задание окрестностей точеки множеств позволяет определять близость одного элемента множествак другому, предельные переходы, сходимость и т. п. понятия.Топологическую структуру (топологию) можно задавать различнымиспособами, например, простым описанием того, какие именно множествасчитаются открытыми.В практике математического моделирования более распространенозадание топологии не сформулированным выше абстрактным способом,а при помощи функции расстояния (метрики) или же с помощьюразличных норм. Преимущество этого пути состоит в том, что мы получаемв своё распоряжение количественную меру близости рассматриваемыхобъектов. При этом открытыми множествами считаются такиемножества, каждая точка которых принадлежит множеству вместе снекоторым шаром с центром в этой точке.Как известно, на нормированном пространстве X расстояние (метрика)между элементами a и b может быть естественно задано какdist(a,b) = ‖a−b‖,т. е. как «величина различия» элементов a и b. Непосредственной проверкойлегко убедиться, что для введённого таким образом расстоянияdist выполняются все аксиомы расстояния (мы приводили их ранее настр. 43). Таким образом, нормы будут нужны нам как сами по себе,5 Топологией называется также математическая дисциплина, изучающая, главнымобразом, свойства объектов, инвариантные относительно непрерывных отображений(см., к примеру, [60]). Ниже даётся очень краткий обзор основных идейтопологии, предназначенный, скорее, для напоминания или увлечения читателя.