С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

232 3. Численные методы линейной алгебрыми выкладками:‖a‖ 2 = √ |a 1 | 2 +|a 2 | 2 +...+|a n | 2≥ √ max i |a i | 2 = max i |a i | = ‖a‖ ∞ ,‖a‖ 2 = √ |a 1 | 2 +|a 2 | 2 +...+|a n | 2≤ √ n max i |a i | 2 = √ n max i |a i | = √ n ‖a‖ ∞ ,‖a‖ ∞ = max i |a i |≤ |a 1 |+|a 2 |+...+|a n | = ‖a‖ 1 ,‖a‖ 1 = |a 1 |+|a 2 |+...+|a n |≤ n max|a i | ≤ n‖a‖ ∞ .iНетрудно видеть, что все эти неравенства достижимые (точные).Доказанный выше вывод об эквивалентности конкретных норм являетсячастным случаем общего результата математического анализа:в конечномерном линейном векторном пространстве все нормы топологическиэквивалентны друг другу (см., к примеру, [20, 40, 50]). Носодержание Предложения 3.3.2 состоит ещё и в указании конкретныхконстант эквивалентности норм, от которых существенно зависят различныечисловые оценки и вытекающие из них действия по решениютех или иных задач.Любой вектор однозначно представляется своим разложением покакому-то фиксированному базису линейного пространства, или, инымисловами, своими компонентами-числами в этом базисе. В связи сэтим помимо определённой выше сходимости по норме имеет смыслрассматривать “покомпонентную сходимость”, при которой один векторсчитается сходящимся к другому тогда и только тогда, когда всекомпоненты первого вектора сходятся к соответствующим компонентамвторого. Формализацией этих соображений являетсяОпределение 3.3.3 Говорят, что переменная a ∈ X сходится к пределуa⋆ покомпонентно (покомпонентным образом) относительно некоторогобазиса, если для каждого индекса i имеет место сходимостьсоответствующей компоненты a i → a ⋆ i в R или C.