С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

3.2. Теоретическое введение 209причём Bu ≠ 0, так как иначе в исходном соотношении (3.4) необходимодолжно быть λ = 0. Сказанное означает, что вектор Bu являетсясобственным вектором матрицы BA, отвечающим такому же собственномузначению λ.И наоборот, если ненулевое µ есть собственное значение для BA, то,домножая слева равенствона матрицу A, получимBAv = µvABAv = AB(Av) = µ(Av),причём Av ≠ 0. Как следствие, Av есть собственный вектор матрицыAB, отвечающий собственному значениюµ. Иными словами, ненулевыесобственные числа матриц AB и BA находятся во взаимнооднозначномсоответствии друг с другом.Другой вывод этого результата можно найти, к примеру, в [2, 42].Особая роль нулевого собственного значения в этом результате объясняетсятем, что если A и B — прямоугольные матрицы, то из двухматриц AB и BA по крайней мере одна имеет неполный ранг — та, чьиразмеры больше. Но меньшая по размерам матрица может быть какособенной, так и неособенной.Собственные векторыx, являющиеся решеними (3.3), называют такжеправыми собственными векторами, поскольку они соответствуютумножению на матрицу справа. Но нередко возникает необходимостьрассмотрения левых собственных векторов, обладающих свойством,аналогичным (3.3), но при умножении на матрицу слева. Очевидно,это должны быть собственные вектор-строки, но, имея в качестве основногопространство вектор-столбцов C n , нам будет удобно записатьусловие на левые собственные векторы в видеy ∗ A = µy ∗ ,для y ∈ C n и некоторого µ ∈ C. Применяя к этому соотношению эрмитовосопряжение, получимA ∗ y = µy,т. е. левые собственные векторы матрицы A являются правыми собственнымивекторами эрмитово сопряжённой матрицы A ∗ . Эта простаявзаимосвязь объясняет редкость самостоятельного использования