С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

310 3. Численные методы линейной алгебрыМатрицей вращения называется n×n-матрица G(k,l,θ) вида⎛⎞1. .. k-ая строкаcosθ ··· −sinθ1. . .. ., (3.81)1l-ая строкаsinθ ··· cosθ⎜⎟⎝⎠. ..1где все не выписанные явно элементы вне главной диагонали равнынулю. Таким образом, G(k,l,θ) — это матрица, которая отличаетсяот единичной матрицы лишь элементами, находящимися в позициях(k,k), (k,l), (l,k) и (l,l) для данных индексов k, l. Нетрудно проверить,что она ортогональна.Матрица ( )cosθ −sinθsinθcosθзадаёт, как известно, вращение двумерной плоскости 0x 1 x 2 на угол θвокруг начала координат. 16 Матрица G(k,l,θ) также задаёт вращениепространства R n на угол θ вокруг оси, проходящей через начало координати ортогональной гиперплоскости 0x k x l . Матрицы вращенияG(k,l,θ) называют также матрицами Гивенса, и мы будем иногда обозначатьих посредством G(k,l), если конкретная величина угла θ несущественна.Если вектор a = (a 1 ,a 2 ) ⊤ — ненулевой, то, взяв√a 2 1 +a2 2 ,cosθ = a 1, sinθ = −a 2, где ‖a‖ 2 =‖a‖ 2 ‖a‖ 2мы можем с помощью матрицы двумерного вращения занулить вторуюкомпоненту этого вектора:( )( ( )cosθ −sinθ a1 ‖a‖2sinθcosθa 2)16 Напомним, что положительным направлением вращения плоскости считаетсявращение «против часовой стрелки».=0.