С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

2.2. Интерполирование функций 55используется обозначение f[x i ,x i+1 ,...,x i+k ] или даже маловыразительноеf(x i ,x i+1 ,...,x i+k ).Операция взятия разделённой разности является линейной: для любыхфункций f, g и для любых скаляров α, β справедливо(αf +βg) ∠ = αf ∠ +βg ∠ (2.18)при одинаковых аргументах разделённых разностей. Это очевидно следуетиз определения для разделённой разности первого порядка, а дляразделённых разностей высших порядков показывается несложной индукциейпо величине порядка. То же самое верно и для разделённыхразностей от наборов значений:(α(yi ,...,y i+k )+β(z i ,...,z i+k ) ) ∠= α(y i ,...,y i+k ) ∠ +β(z i ,...,z i+k ) ∠по одному и тому же набору узлов.Предложение 2.2.1 Имеет место представлениеf ∠ (x i ,x i+1 ,...,x i+k ) =∑i+kj=if(x j ). (2.19)∏(x j −x l )i+kl=il≠jДля разделённой разности от набора значений аналогичная формулавыглядит следующим образом(y i ,y i+1 ,...,y i+k ) ∠ =∑i+kj=ii+ky j.∏(x j −x l )l=il≠jДоказательство. Оно проводится индукцией по порядку k разделённойразности.При k = 1 доказываемая формула, как нетрудно проверить, совпадаетс определением разделённой разности первого порядка.Пусть Предложение уже доказано для некоторого положительного