С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

3.3. Нормы векторов и матриц 233Интересен вопрос о том, как соотносятся между собой сходимостьпо норме и сходимость всех компонент вектора.Предложение 3.3.3 В конечномерных линейных векторных пространствахсходимость по норме и покомпонентная сходимость векторовравносильны друг другу.Доказательство. Пустьa—n-мерная векторная переменная, котораясходится к пределу a ⋆ в покомпонентном смысле относительно базиса{e i } n i=1 . Тогда, разлагая a и a⋆ в этом базисе, получаем‖a−a ⋆ n∑‖ =a i e i −∥≤i=1∥ ∥n∑ ∥∥∥∥ a ⋆ n∑ (ie i =ai −a ⋆ ) ∥∥∥∥i ei∥i=1i=1n∑∥ ∑∥ n (ai −a ⋆ i)e i = |a i −a ⋆ i|‖e i ‖.i=1Как следствие, если a i сходятся к a ⋆ i для любого индекса i = 1,2,...,n,то и ‖a−a ⋆ ‖ → 0.Обратно, пусть имеет место сходимость a к a ⋆ по норме. Из фактаэквивалентности различных норм следует существование такой положительнойконстанты C, чтоi=1max|a i −a ⋆ i | = i‖a−a⋆ ‖ ∞ ≤ C‖a−a ⋆ ‖.Поэтому при ‖a−a ⋆ ‖ → 0 обязательно должна быть сходимость компонентa i к a ⋆ i для всех индексов i.Хотя сходимость по норме и покомпонентная сходимость равносильныдруг другу, в различных ситуациях часто бывает удобнее воспользоватьсякакой-нибудь одной из них. Норма является одним числом,указывающим на степень близости к пределу, и работать с ней поэтомупроще. Но рассмотрение сходимости в покомпонентном смысле позволяетрасчленить задачу на отдельные компоненты, что также нередкоупрощает рассмотрения.Покажем непрерывность сложения и умножения на скаляр относительнонормы. Пусть a → a ⋆ и b → b ⋆ , так что ‖a − a ⋆ ‖ → 0 и