С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

218 3. Численные методы линейной алгебры— левые собственные векторы для A ∗ A или, что равносильно, эрмитовосопряжённые правых собственных векторов матрицы AA ∗ . Отметимтакже, что как левые левые, так и правые сингулярные векторы сутьортогональные системы векторов, коль скоро они являются собственнымивекторами эрмитовых матриц A ∗ A и AA ∗ .Пример 3.2.1 Пусть A — это 1 × 1-матрица, т. е. просто некотороечисло a, вещественное или комплексное. Ясно, что единственное собственноечисло такой матрицы равно самому a. Сингулярное число уA также всего одно, и оно равно √ a ∗ a = |a|.Пусть A = (a 1 ,a 2 ,...,a n ) ⊤ — это n×1-матрица, т. е. просто векторстолбец.Тогда матрицаA ⊤ A является числомa 2 1 +a2 2 +...+a2 n, и поэтомуединственное сингулярное число матрицы A равно евклидовой нормевектора (a 1 ,a 2 ,...,a n ) ⊤ . То же самое верно для 1×n-матрицы, то естьвектор-строки (a 1 ,a 2 ,...,a n ).Пример 3.2.2 Для единичной матрицы I все сингулярные числа очевидноравны единицам.Но все единичные сингулярные числа имеет не только единичнаяматрица. Если Q — унитарная комплексная матрица (ортогональная ввещественном случае), то Q ∗ Q = I, и потому все сингулярные числадля Q также равны единицам.Пример 3.2.3 Для 2×2-матрицы( ) 1 2A =3 4нетрудно выписать характеристическое уравнение( ) 1−λ 2det = λ 2 −4λ−2 = 0,3 4−λ(3.10)и найти его корни 1 2 (5±√ 33) — собственные значения матрицы, приблизительноравные −0.372 и 5.372. Для определения сингулярных чиселобразуем( ) 10 14A ⊤ A = ,14 20и вычислим её собственные значения. Они равны 15± √ 221, и потому