С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

4.4. Классические методы решения уравнений 465будем иметьx ∗ = ˜x+p∑(−1) k g (k)( f(˜x) ) ( f(˜x) ) kk!k=1( ) p+1f(˜x)+ (−1) p+1 g (p+1) (ξ) .(p+1)!В качестве следующего приближения к решению мы можем взять, отбросивостаточный член, значение˜x+p∑(−1) k g (k)( f(˜x) ) ( f(˜x) ) k.k!k=1Подытоживая сказанное, определим итерацииx (k+1) ← x (k) +p∑(−1) k g (k)( f(˜x) ) ( f(˜x) ) k, k = 0,1,2,...,k!k=1которые и называются методом Чебышёва p-го порядка.Как найти производные обратной функции g?Зная производные функции f в какой-то точке, мы можем найти ипрозводные обратной функции g. В самом деле, последовательно дифференцируятождество x = g ( f(x) ) , получимилиg ′( f(x) ) f ′ (x) = 1,g ′′( f(x) )( f ′ (x) ) 2+g′ ( f(x) ) f ′′ (x) = 0,g ′′′( f(x) )( f ′ (x) ) 3+g′′ ( f(x) )·2f ′ (x)f ′′ (x)g ′( f(x) ) f ′ (x) = 1,+g ′′( f(x) ) f ′ (x)f ′′ (x)+g ′( f(x))f ′′′ (x) = 0,... ... ,g ′′( f(x) )( f ′ (x) ) 2+g′ ( f(x) ) f ′′ (x) = 0,g ′′′( f(x) )( f ′ (x) ) 3+3g′′ ( f(x) ) f ′ (x)f ′′ (x)+g ′( f(x))f ′′′ (x) = 0,... ... .