С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

82 2. Численные методы анализаС.Н. Бернштейн, рассмотрев на интервале [−1,1] алгебраическую интерполяциюфункции f(x) = |x| по равноотстоящим узлам, включающими концы этого интервала. Не слишком трудными рассуждениямипоказывается (см. [7, 25]), что с возрастанием числа узлов соответствующийинтерполяционный полином не стремится к |x| ни в однойточке интервала [−1,1], отличной от −1, 0 и 1. Может показаться,что причиной плохой сходимости интерполяционного процесса в примереС.Н. Бернштейна является отсутствие гладкости интерполируемойфункции, но это верно лишь отчасти.Предположим, что интерполируемая функция f имеет бесконечнуюгладкость, т. е. f ∈ C ∞ [a,b], и при этом её производные растут «неслишком быстро». В последнее условие будем вкладывать следующийсмысл:sup |f (n) (x)| < M n , n = 0,1,2,..., (2.45)x∈[a,b]где M не зависит от n. Тогда из Теоремы 2.2.2 следует, что погрешностьалгебраического итерполирования по n узлам может быть оцененасверху как( ) n+1M(b−a),(n+1)!то есть приn → ∞ очевидно сходится к нулю вне зависимости от расположенияузлов интерполяции. Иными словами, любой алгебраическийинтерполяционный процесс на интервале [a,b] будет равномерно сходитьсяк такой функции f.Условие (2.45) влечёт сходимость ряда Тейлора для функцииf в любойточке из [a,b], и такие функции называются аналитическими нарассматриваемом множестве [40]. Это очень важный, хотя и не слишкомширокий класс функций, которые являются ближайшим обобщениемалгебраических полиномов.Но в самом общем случае при алгебраическом интерполированиибесконечно гладких функций погрешность всё-таки может не сходитьсяк нулю, даже при «вполне разумном» расположении узлов. Повидимому,наиболее известный пример такого рода привёл немецкийматематик К. Рунге. В примере Рунге функцияΥ(x) =11+25x 2интерполируется алгебраическими полиномами на интервале [−1,1] сравномерным расположением узлов интерполяции x i = −1+2i/n, i =