С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

3.16. Проблема собственных значений 391откуда можно заключить о том, что особенной должна быть матрица(I +(D − ˜λI) −1 V −1 (∆A)V ) . Как следствие, матрица(D − ˜λI) −1 V −1 (∆A)Vимеет собственное значение −1, и потому любая норма этой матрицыдолжна быть не меньшей 1. В частности, это верно для спектральнойнормы: ∥ ∥(D− ˜λI) −1 V −1 (∆A)V ∥ ∥2≥ 1.Отсюдаmax ∣ (λi − ˜λ) −1∣ ∣·‖V −1 ‖ 2 ‖∆A‖ 2 ‖V‖ 2 ≥ 1.1≤i≤nПоследнее неравенство равносильноmin ∣ (λi − ˜λ) −1∣ ∣ ≤ ‖V −1 ‖ 2 ‖∆A‖ 2 ‖V‖ 2 ,или1≤i≤nкак и требовалось.mini∣ ∣˜λ−λi (A) ∣ ∣ ≤ cond2 (V)‖∆A‖ 2 ,Теорема Бауэра-Файка показывает, что, каково бы ни было возмущение∆A матрицы простой структуры A, для любого собственногозначения ˜λ возмущённой матрицы A + ∆A найдётся собственное значениеλ i матрицы A, отличающееся от ˜λ не более чем на величинуспектральной нормы возмущения ‖∆A‖ 2 , умноженную на число обусловленностиматрицы собственных векторов. Таким образом, числообусловленности матрицы из собственных векторов может служить меройобусловленности проблемы собственных значений.Практическую ценность теоремы Бауэра-Файка в целом и неравенства(3.138) в частности снижает то обстоятельство, что собственныевекторы матрицы определены с точностью до скалярного множителя,и потому cond 2 (V) есть величина, заданная не вполне однозначно.Наилучшим выбором для cond 2 (V) в неравенстве был бы, очевидно,минимум чисел обусловленности матриц из собственных векторов, ноего нахождение является в общем случае сложной задачей. Тем не менее,прикидочные оценки и качественные выводы на основе теоремыБауэра-Файка делать можно.Важнейший частный случай применения теоремы Бауэра-Файка относитсяк симметричным матрицам. Они имеют простую структуру и,