С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

3.9. Стационарные итерационные методы 347иметь для i = 1,2,...,n:∣ (k+1)∑i−1∣ z ∣i ≤ a ij∣∣∣·∣∣(k+1)∑∣ z ∣ n ∣ j + a ij∣∣∣·∣∣(k)a ii∣ z ∣ja iij=1j=i+1≤ ∥ ∥ i−1∣∑z(k+1) a ij∣∣∣∞ ∣ + ∥ ∥ z(k) a ∞ iij=1n ∑j=i+1∣ a ij∣∣∣∣ . (3.104)a iiС другой стороны, условие диагонального преобладания в матрицеA, т. е.∑|a ij | < |a ii |, i = 1,2,...,n,j≠iозначает существование константы κ, 0 ≤ κ < 1, такой что∑|a ij | ≤ κ|a ii |, i = 1,2,...,n. (3.105)j≠iПо этой причине∑∣ a ij∣∣∣∣ ≤ κ,a iij≠ii = 1,2,...,n,откуда для i = 1,2,...,n следуетn∑j=i+1∣ a ij∣∣∣i−1∣∑∣ ≤ κ −a ij∣∣∣i−1∣ (∑a ii∣ ≤ κ −κa ij∣∣∣i−1∣)∑a ii∣ = κ 1−a ij∣∣∣a ii∣ .a iij=1Подставляя полученную оценку в неравенства (3.104), приходим к соотношениям∣ (k+1)∥z ∣ ∥ ∑i−1∣ i ≤ ∥z (k+1) a ij∣∣∣∞ ∣ + κ ∥ ∥ (∑i−1∣)z(k) a ∞1−a ij∣∣∣ii∣ , (3.106)a iij=1i = 1,2,...,n.∣Предположим, что max 1≤i≤n z (k+1)∣ достигается при i = l, так чтоij=1j=1j=1∥ ∥ z(k+1) ∞= ∣ (k+1)z ∣ . (3.107)l