С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

326 3. Численные методы линейной алгебрыляются основой прямых методов решения систем линейных уравнений,очень сложны или порой просто невозможны.Наконец, быстро сходящиеся итерационные методы могут обеспечиватьвыигрыш по времени даже для СЛАУ общего вида, если требуютнебольшое число итераций.То обстоятельство, что искомое решение получается как топологическийпредел последовательности, порождаемой методом, являетсяхарактерной чертой именно итерационных методов решения уравнений.Существуют и другие конструкции, по которым решение задачистроится из последовательности, порождаемой методом. Интересныйпример дают методы Монте-Карло, в которых осуществляется усреднениепоследовательности приближений.3.9б Сходимость стационарныходношаговых итерационных методовСистемы линейных уравнений видаx = Cx+d,в котором вектор неизвестных переменных выделен в одной из частей,мы будем называть системами в рекуррентном виде.Теорема 3.9.1 Пусть система уравнений x = Cx + d имеет единственноерешение. Стационарный одношаговый итерационный процессx (k+1) ← Cx (k) +d, k = 0,1,2,..., (3.92)сходится при любом начальном приближении x (0) тогда и только тогда,когда спектральный радиус матрицы C меньше единицы, т.е.ρ(C) < 1.Оговорка о единственности решения существенна. Если взять, кпримеру, C = I и d = 0, то рассматриваемая система обратится втождество x = x, имеющее решением любой вектор. Соответствующийитерационный процесс x (k+1) ← x (k) , k = 0,1,2,..., будет сходиться излюбого начального приближения, хотя спектральный радиус матрицыперехода C равен единице.Доказательство Теоремы 3.9.1 будет разбито на две части, результаткаждой из которых представляет самостоятельный интерес.