С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

3.11. Методы установления 373илиx (k+1) = x (k) −τ(Ax (k) −b), k = 0,1,2,...,то есть известный нам метод простой итерации (3.98) для решения системыуравнений Ax = b. При переменном шаге по времени, когдаτ = τ k , k = 0,1,2,..., получающийся метод Эйлераэквивалентенx (k+1) −x (k)+Ax (k) = bτ kx (k+1) = x (k) −τ k (Ax (k) −b), k = 0,1,2,...,т. е. простейшему нестационарному итерационному методу Ричардсона(3.110).Представление метода простой итерации в виде (3.121), как методарешения системы дифференциальных уравнений, даёт возможностьпонять суть ограничений на параметр τ. Это не что иное, как ограничениена величину шага по времени, вызванное требованием устойчивостиметода. Если шаг по времени мал, то до установления решениязадачи (3.120) нам нужно сделать большое количество таких мелкихшагов, что даёт ещё одно объяснение невысокой вычислительной эффективностиметода простой итерации.Более быструю сходимость к решению можно достичь, взяв шагпо времени большим, но для этого нужно преодолеть ограничение наустойчивость метода. Реализация этой идеи действительно приводитк более эффективным численным методам решения некоторых специальныхсистем линейных уравнений Ax = b, встречающихся при дискретизациидифференциальных уравнений с частными производными.Таковы методы переменных направлений, методы расщепления и методыдробных шагов, идейно близкие друг другу (см. [85]).Очевидно, что вместо (3.120) можно рассмотреть задачу более общеговидаB ∂x +Ax(t) = b, (3.122)∂tгде B — некоторая неособенная матрица. Смысл её введения станетболее понятен, если переписать (3.122) в равносильном виде∂x∂t +B−1 Ax(t) = B −1 b.