С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

302 3. Численные методы линейной алгебрыОбозначим Q := lim l→∞ Q kl , и это также ортогональная матрица.Тогда ( )lim Q⊤klA kl = lim Q ⊤ kl→∞ l→∞ l · lim A kl = Q ⊤ A = Rl→∞— правой треугольной матрице, поскольку все Q ⊤ k lA kl были правымитреугольными матрицами R kl . Таким образом, в целом снова A = QRс ортогональной Q и правой треугольной R, как и требовалось. Если известно QR-разложение матрицы A, то решение исходнойСЛАУ, равносильной(QR)x = bсводится к решению треугольной системы линейных алгебраическихуравненийRx = Q ⊤ b. (3.77)Ниже в §3.17е мы встретимся и с другими важными применениями QRразложенияматриц — при численном решении проблемы собственныхзначений.Хотя для неособенных матриц доказательство Теоремы 3.7.1 носитконструктивный характер, оно существенно завязано на разложениеХолесского матрицы A ⊤ A, а потому находить с его помощьюQR-разложение не очень удобно. На практике основным инструментомполучения QR-разложения является техника, использующая так называемыематрицы отражения и матрицы вращения, описанию которыхпосвящены следующие разделы книги.3.7в Ортогональные матрицы отраженияОпределение 3.7.2 Для вектора u ∈ R n с единичной евклидовой нормой,‖u‖ 2 = 1, матрица H = H(u) = I −2uu ⊤ называется матрицейотражения или матрицей Хаусхолдера. Вектор u называется порождающимили вектором Хаусхолдера для матрицы отражения H(u).Предложение 3.7.1 Матрицы отражения являются симметричнымиортогональными матрицами. Кроме того, для матрицы H(u)порождающий вектор u является собственным вектором, отвечающимсобственному значению (−1), т.е. H(u)·u = −u;любой вектор v ∈ R n , ортогональный порождающему векторуu, является собственным вектором, отвечающим собственномузначению 1, т.е. H(u)·v = v.