С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

244 3. Численные методы линейной алгебрыНо множество векторов ‖y‖ 1 ≤ 1 не более, чем в √ n меньше, чем множествовекторов, удовлетворяющих ‖y‖ 2 ≤ 1. Как следствие,max ‖Ay‖ 2 ≥ √ 1 max ‖Ay‖ 2 = √ 1 ‖A‖ 2 .‖y‖ 1≤1 n ‖y‖ 2≤1 nОбъединяя два выписанных неравенства, получаем требуемое.Как и для векторов, помимо сходимости по норме введём также поэлементнуюсходимость матриц, при которой одна матрица сходитсяк другой тогда и только тогда, когда все элементы первой матрицысходятся к соответствующим элементам второй:A = (a ij ) → A ⋆ = (a ⋆ ij ) в Rm×n или C m×n⇕a ij → a ⋆ ij в R или C для всех индексов i,j.Из эквивалентности матричных норм следует, в частности, существованиедля любой нормы ‖·‖ такой константы C, что( m)∑max|a ij | ≤ max |a ij | = ‖A‖ 1 ≤ C‖A‖i,j 1≤j≤ni=1(вместо 1-нормы матриц в этой выкладке можно было бы взять, к примеру,∞-норму). Поэтому |a ij | ≤ C‖A‖, так что сходимость последовательностиматриц в любой норме равносильна сходимости последовательностейвсех элементов этих матриц.В целом множество матриц с введённым на нём посредством (3.18)расстоянием для любой матричной нормы является полным метрическимпространством, т. е. любая фундаментальная («сходящаяся в себе»)последовательность имеет в нём предел. Это следует из предшествующегорассуждения и из факта полноты вещественной оси R икомплексной плоскости C.В заключение этой темы отметим, что в вычислительной линйнойалгебре понятия норм векторов и матриц впервые стали широко использоватьсяВ.Н. Фаддеевой в монографии [81], которая предшествовалакапитальной книге [44] и вошла в неё составной частью.