С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

178 2. Численные методы анализаПри этом согласно (2.44) погрешность интерполирования функцииf(x) полиномом Эрмита H 2n−1 (x) равнаR 2n−1 (f,x) = f(x)−H 2n−1 (x)= f(2n)( ξ(x) )(2n)!= f(2n)( ξ(x) )(2n)!·n∏(x−x i ) 2 ,i=1·(ω(x) ) 2,где ω(x) = (x − x 1 )(x − x 2 )···(x − x n ) и ξ(x) — некоторая точка, зависящаяот x, из открытого интервала интерполирования ]a,b[. Поусловиям интерполяции H 2n−1 (x i ) = f(x i ), i = 1,2,...,n, следовательно,∫ baf(x)dx ====∫ ba∫ ba(H2n−1 (x)+R 2n−1 (f,x) ) dxH 2n−1 (x)dx+n∑c i H 2n−1 (x i )+i=1n∑i=1c i f(x i )+ 1(2n)!∫ ba∫ ba∫ baR 2n−1 (f,x)dxR 2n−1 (f,x)dxf (2n) (ξ(x)) ( ω(x) ) 2dx,где c i — веса квадратурной формулы Гаусса.Выражение для второго слагаемого последней суммы, т. е. для остаточногочлена квадратуры, можно упростить и далее, приняв во вниманиезнакопостоянство множителя ( ω(x) ) 2. Тогда в силу интегральнойтеоремы о среднем (см., к примеру, [34]) имеем∫ baf (2n)( ξ(x) )( ω(x) ) 2dx = f (2n) (θ)∫ ba(ω(x)) 2dxдля некоторой точки θ ∈ ]a,b[. Таким образом, погрешность квадратурнойформулы Гаусса, построенной по n узлам x 1 , x 2 , . . . , x n ∈ [a,b],