С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

400 3. Численные методы линейной алгебрыкоторый определён на множестве ненулевых векторов из R n или C n .Область значений отношения Рэлея, т. е. множество{R(x) | x ≠ 0},называется полем значений матрицы A. Можно показать, что оно являетсявыпуклым подмножеством комплексной плоскости C.Перечислим основные свойства отношения Рэлея.Для любого скаляра α справедливоR(αx) = R(x),что устанавливается непосредственной проверкой.Если v — собственный вектор матрицы A, то R(x) равен собственномузначению матрицы, отвечающему v. В самом деле, если обозначитьэто собственное значение посредством λ, то Av = λv. По этой причинеR(v) = 〈Av,v〉〈v,v〉= 〈λv,v〉〈v,v〉= λ〈v,v〉〈v,v〉= λ.Как следствие доказанного свойства, можем заключить, что собственныечисла матрицы принадлежат её полю значений.Собственые векторы являются стационарными точками отношенияРэлея, т. е. точками зануления производной. Покажем это для вещественнойсимметричной матрицы, для которой отношение Рэлея рассматриваетсядля всех ненулевых вещественных векторов:∂R(x)= ∂ ( ) 〈Ax,x〉∂x i ∂x i 〈x,x〉= 2(Ax) i〈x,x〉−〈Ax,x〉·2x i〈x,x〉 2 .Если x = v = (v 1 ,v 2 ,...,v n ) ⊤ — собственный вектор матрицы A, точислитель последней дроби равен 2λv i 〈v,v〉−〈λv,v〉·2v i = 0.Практическое значение отношения Рэлея для вычислительных методовсостоит в том, что с его помощью можно легко получить приближениек собственному значению, если известен приближённый собственныйвектор матрицы.Хотя отношение Рэлея имеет смысл и практическое значение дляпроизвольных матриц, особую красоту и богатство содержания оноприобретает для эрмитовых (симметричных в вещественном случае)матриц.