С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

478 4. Решение нелинейных уравнений и их системболее многочисленны, чем одномерные, и отличаются очень большимразнообразием. В многомерном случае мы можем варьировать не тольковыбор точки ˜x, вокруг которой осуществляется разложение, формуинтервального расширения производных или наклонов функции, какэто было в одномерном случае, но также и способ внешнего оцениваниямножества решений интервальной линейной системы, к которой приводитсяоценивание бруса решения. В оставшейся части этого параграфамы рассмотрим простейшую форму многомерного интервального методаНьютона, а его более специальным версиям, которые связываются сименами Кравчика и Хансена-Сенгупты, будут посвящены отдельныепараграфы.Определение 4.7.2 [46] Для отображения F : R n ⊇ D 0 → R mматрица A ∈ IR m×n называется интервальной матрицей наклоновна D ⊆ D 0 , если для любых x,y ∈ D равенствоF(y)−F(x) = A(y −x)имеет место с некоторой вещественной m×n-матрицей A ∈ A.Предположим, что на брусеxкрешению предъявлена система нелинейныхуравненийF(x) = 0. (4.25)Если S — интервальная матрица наклонов отображенияF на x, то длялюбых точек x,˜x ∈ x справедливо представлениеF(x) ∈ F(˜x)+S(x− ˜x).В частности, если x — решение системы уравнений (4.25), т. е.F(x) = 0,то0 ∈ F(˜x)+S(x− ˜x). (4.26)Вспомним характеризацию Бека для объединённого множества решенийИСЛАУ (Теорема 4.6.1): получается, что точка x удовлетворяетвключению (4.26) тогда и только тогда, когда она принадлежит объединённомумножеству решений интервальной линейной системыS(x− ˜x) = −F(˜x). (4.27)Далее, если Encl — процедура внешнего оценивания множества решенийИСЛАУ, то справедливо включениеx− ˜x ∈ Encl(S,−F(˜x)),