С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

234 3. Численные методы линейной алгебры‖b−b ⋆ ‖ → 0. Тогда‖(a+b)−(a ⋆ +b ⋆ )‖ = ‖(a−a ⋆ )+(b−b ⋆ )‖ ≤ ‖a−a ⋆ ‖+‖b−b ⋆ ‖ → 0,‖αa−αa ⋆ ‖ = ‖α(a−a ⋆ )‖ = |α|‖a−a ⋆ ‖ → 0для любого скаляра α.Умножение на матрицу также непрерывно в конечномерном линейномвекторном пространстве. Если A — m × n-матрица и b — такойn-вектор, что b → b ⋆ , то, зафиксировав индекс i ∈ {1,2,...,m}, оценимразность i-ых компонент векторов Ab и Ab ⋆ :∣ ∣∣(Ab) i −(Ab ⋆ ) i = ∣ ( A(b−b ⋆ ) ) ∣ ∣ n∑ ∣∣∣∣=ia ij (b j −b ⋆ j∣)n∑≤ √j=1a 2 ijj=1n∑√ (b j −b ⋆ j )2в силу неравенства Коши-Буняковского. Поэтому (Ab) i → (Ab ⋆ ) i приb → b ⋆ для любого номера i.3.3в Матричные нормыПомимо векторов основным объектом вычислительной линейной алгебреявляются также матрицы. По этой причине нам будут нужныматричные нормы — для того, чтобы оценивать «величину» той илииной матрицы, а также для того, чтобы ввести расстояние между матрицамикакdist(A,B) := ‖A−B‖, (3.18)где A, B — вещественные или комплексные матрицы.Множество матриц само является линейным векторным пространством,а матрица — это составной многомерный объект, в значительнойстепени аналогичный вектору. Поэтому вполне естественно преждевсего потребовать от матричной нормы тех же свойств, что и длявекторной нормы. Формально, матричной нормой на множестве вещественныхили комплексных m×n-матриц называют вещественнозначнуюфункцию ‖·‖, удовлетворяющую следующим условиям (аксиомамнормы):j=1